Lekce 2
Rovnice se separovatelnými proměnnými

Rovnice se separovatelnými proměnnými - tvar rovnice

Definice. Rovnice se separovatelnými proměnnými má tvar: \[ y' = f(x)g(y). \tag{1} \] Zde \(x\) označuje nezávislou proměnnou, \(y = y(x)\) je neznámou funkcí. Předpokládejme, že funkce \(f\) a \(g\) jsou spojitými funkcemi.

Poznámka. Jsou-li \(y_1, y_2,\ldots,\) pak jsou konstantní funkce \(y = y_1, y = y_2, \ldots\) jsou řešeními rovnice (1).

Postup řešení. (i) Rovnici přepíšeme do tvaru: \[ \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx \tag{2} \] Předpokládejme, že funkce \(f\) je spojitá na intervalu \(J_x\), funkce \(g\) je spojitá a nenulová na intervalu \(J_y\).
(ii) Rovnici (2) integrujme: \[ \int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x) dx. \] Bude-li \(G(y)\) označovat primitivní funkci k funkci \(1/g(y)\) a \(F(x)\) primitivní funkci k funkci \(f(x)\), pak dostáváme: \[ G(y) = F(x) + C, \tag{3} \] kde \(C\in\mathbb R\) je integrační konstanta.
Jelikož je funkce \(1/g(y)\) spojitá a nenulová na intervalu \(J_y\), je zde stále kladná a nebo je stále zápornou funkcí. Tudíž její primitivní funkce \(G\) je na intervalu \(J_y\) ryze monotónní funkcí. Pak k ní existuje spojitě diferencovatelná inverzní funkce \(G^{-1}\) na intervalu \(I = G(J_y)\). Z rovnice (3) pak vyplývá: \[ y(x) = G^{-1}(F(x) + C). \]

Řešení Cauchyovy počáteční úlohy. Uvažujme bod \((x_0,y_0)\in J_x\times J_y\). Nechť je funkce \(f\) spojitá na intervalu \(J_x\), funkce \(g\) je spojitá a nenulová na intervalu \(J_y\). Za těchto předpokladů existuje řešení Cauchyovy počáteční úlohy: \begin{eqnarray*} y' &=& f(x) g(y)\\ y(x_0) &=& y_0. \end{eqnarray*} Toto řešení je lokálně jednoznačně určeno. To znamená, že jsou-li \(y_1\) a \(y_2\) dvě řešení C. úlohy, potom existuje okolí \(U(x_0\)) bodu \(x_0\) na němž \(y_1\equiv y_2\). Pro každé \(y\in J_y\) položme: \[ G(y) = \int_{y_0}^{y} \frac{ds}{g(s)}. \] Dále položme pro každé \(x\in J_x\): \[ F(x) = \int_{x_0}^{x} f(t)dt. \] Jak víme, tak za daných předpokladů existuje na intervalu \(I = G(J_y)\) k funkci \(G\) inverzní spojitě diferencovatelná funkce \(G^{-1}:I \to J_y\). Povšimněme si, že \(F(x_0) = 0 = G(y_0)\). Tedy \(F(x_0)\in I\). Ze spojitosti vyplývá existence \(\delta >0\) tak, že \(U_{\delta}(x_0)=(x_0-\delta, x_0+\delta)\subset J_x\) a pro každé \(x\in U_{\delta}(x_0)\) platí \(F(x)\in I.\) Dále pro každé \(x\in U_{\delta}(x_0) \) položme \[ y(x) = G^{-1}(F(x)). \tag{4} \] Dále pro každé \(x\in U_{\delta}(x_0)\) máme: \begin{eqnarray*} f(x) &=& F'(x) = [G(y(x))]'\\ &=& G'(y(x))\cdot y'(x)=\frac{1}{g(y(x))}\cdot y'(x). \end{eqnarray*} Tedy pro každé \(x\in U_{\delta}(x_0)\) platí \[ y'(x) = f(x) g(y(x)) \] a \[ y(x_0) = G^{-1}(F(x_0)) = G^{-1}(0)=y_0. \]

Poznamenejme ještě, že existence derivace \(y'(x)\) pro každé \(x\in U_{\delta}(x_0)\) vyplývá z diferencivatelnosti inverzní funkce \(G^{-1}\) a z diferencovatelnosti funkce \(F(x)\).

Ukažme ještě, že řešení Cauchyovy počáteční úlohy je určeno lokálně jednoznačně. Předpokládejme za tím účelem, že funkce \(z = z(x)\) řeší na jistém okolí \(U_{\eta}(x_0)\) bodu \(x_0\) Cauchyovu počáteční úlohu, tj. \begin{eqnarray*} z'(x) &=& f(x)\cdot g(z(x)),\ \ \forall x\in U_{\eta}(x_0)\\ z(x_0) &=& y_0. \end{eqnarray*} Bez újmy na obecnosti můžeme též předpokládat, že pro každé \(x\in U_{\eta}(x_0)\) platí \(g(z(x))\neq 0\). Na okolí \(U_{\eta}(x_0)\) je splněna rovnost: \[ \frac{z'(x)}{g(z(x))} = f(x). \] Odtud plyne pro každé \(x\in U_{\eta} (x_0)\): \[ F(x) = \int_{x_0}^x f(t)dt = \int_{x_0}^x \frac{z'(t)}{g(z(z))}dt = \int_{y_0}^{z(x)}\frac{ds}{g(s)}=G(z(x)). \] Potom pro každé \(x\in U_{\delta}(x_0)\cap U_{\eta}(x_0)\) máme: \[ z(x) = G^{-1}(F(x)) = y(x). \] Takto jsme dokázali lokální jednoznačnost řešení Cauchyovy počáteční úlohy za předpoklady, kdy je \(g(y_0)\neq 0.\)

Příklad.

Uvažujme rovnici se separovatelnými proměnnými: \[ y' = \sqrt{|y|}. \] Hledejme řešení rovnice splňující počáteční podmínku \(y(0) = 0.\) Je-li \(\alpha\le 0\) parametr, potom je funkce \(y_{\alpha}:\mathbb R\to\mathbb R\) daná předpisem: \[ y_{\alpha}(x)= \begin{cases} x^2/4, \text{ jestliže } x > 0,\\ 0, \ \ \ \ \ \text{jestliže } \alpha \le x \le 0,\\ -\frac{(x-\alpha)^2}{4}, \text{ jestliže } x <\alpha, \end{cases} \] řešením Cauchyovy počáteční úlohy. Spočtěme nyní derivaci \(y_{\alpha}'\). Poznamenejme, že funkce \(y_{\alpha}\) je na \(\mathbb R\) spojitou funkcí. Snadným výpočtem a s využitím věty o limitě derivace obdržíme: \[ y_{\alpha}'(x)= \begin{cases} \frac{x}{2}, \text{ pro } x > 0,\\ 0, \text{ pro } \alpha \le x \le 0,\\ -\frac{(x-\alpha)}{2} \text{ pro } x < \alpha. \end{cases} \] Dále pak máme: \[ \sqrt{|y_{\alpha}(x|)} = \begin{cases} \sqrt{\left|\frac{x^2}{4}\right|} = \left|\frac{x}{2}\right|= \frac{x}{2}, \text{ pro } x > 0,\\ 0, \text{ pro } \alpha \le x \le 0,\\ \sqrt{\left|-\frac{(x-\alpha)^2}{4}\right|} = -\frac{x-\alpha}{2}, \text{ pro } x < \alpha. \end{cases} \] Je tedy vidět, že na \(\mathbb R\) platí \(y_{\alpha}' = \sqrt{|y_{\alpha}|}.\) Jiným netriviálním řešením Cauchyovy počáteční úlohy je funkce: \[ y(x)= \begin{cases} \frac{x^2}{4} \text{ pro } x > 0;\\ 0 \text{ pro } x \le 0. \end{cases} \] Je-li \(x > 0,\) pak \(y'(x) = x/2.\) Dále pro \(x < 0\) máme: \(y'(x) = 0.\) Nakonec s využitím věta o limitě derivace dostáváme:

\(y'(0) = \lim_{x\to 0} y'(x) = 0.\) Vyjádřeme nyní hodnotu výrazu \(\sqrt{|y(x)|}\): \[ \sqrt{|y(x)|} = \begin{cases} x/2 \text{ pro } x >0,\\ 0 \text{ pro } x \le 0. \end{cases} \]

Tedy pro každé \(x\in\mathbb R\) platí \(y'(x) = \sqrt{|y(x)|}.\)

Poznámka. Předchozí úloha ukazuje, že lokální jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy neplatí pokud není splněna podmínka \(g(y_0) \neq 0.\)

Úlohy. 1. Řešme Cauchyovu počáteční úlohu: \begin{eqnarray*} (x^2 -1)y' + 2xy^2 &=& 0\\ y(0) &=& 1. \end{eqnarray*} [Řešení najdete zde. ]

2. Řešme Cauchyovu počáteční úlohu: \begin{eqnarray*} xy' + y &=& y^2\\ y(1) &=& \frac{1}{2}. \end{eqnarray*} [Řešení najdete zde. ]

3. \[ y' - y = 2x - 3. \] [Řešení najdete zde. ]

4. \[ x^2 y' = y^2 + xy + x^2. \] [Řešení najdete zde. ]

5. \[ (x + y)dx - xdy = 0. \] [Řešení najdete zde. ]

Další příklady k procvičení

1. \[ y' = \frac{(x + 2)y}{x(x + 1)}. \] [Obecné řešení: \(y = C\frac{x^2}{x + 1}, \ C\in\mathbb R.\)]

2. \[ y' = \frac{y^2}{x\ln x} - \frac{1}{x\ln x}. \] [Obecné řešení: \(y = \frac{1 + C\ln^2 x}{1 - C\ln^2 x},\ C\in\mathbb R.\)]

3. \[ 4x^2y' = y^2 + 6xy - 3x^2. \] [Obecné řešení: \(y = \frac{x + 3Cx^2}{1 - Cx},\ C\in\mathbb R.\)]

4. \[ x^2y' - y^2e^{x/y} = xy. \] [Obecné řešení: \(y = -\frac{x}{\ln(\ln(C|x|))},\ C>0\).]

5. Najděte řešení rovnice \[ y' = \frac{1 - e^{-y}}{2x + 1} \] takové, že \(y(0) = 1.\) [\(y = \ln(1 + (e - 1)\sqrt{|2x + 1|})\).]