Lekce 4
Lineární rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty

Tvar rovnice

Je-li \(f:I\to\mathbb R\) spojitá funkce na intervalu \(I\subseteq\mathbb R,\) \(a,b\in\mathbb R,\) pak rovnici \[ y'' + ay' + by = f \tag{1} \] budeme nazývat lineární rovnicí 2. řádu s konstantními koeficienty. Je-li \(f\equiv 0\) na \(I\), pak říkáme, že se jedná o tzv. homogenní rovnici, tj. rovnici ve tvaru \[ y'' + ay + by = 0. \tag{2} \]

Komplexní funkce

Při studiu těchto rovnic vzniká potřeba pracovat s konstantními funkcemi \(y: I\to\mathbb C.\) Každou takovou funkci lze vyjádřit ve tvaru \[ y(x) = y_r(x) + i y_i(x), \] kde \(\forall x\in I:\) \(y_r(x) = Re (y(x)) = \) "reálná složka komplexního čísla \(y(x),\)" \(y_i(x) = Im(y(x)) = \) "imaginární složka komplexního čísla \(y(x)\)." Je-li \(x_0\in I\) a existují-li derivace derivace \(y_r(x_0)\), \(y_i(x_0) \in \mathbb R,\) pak komplexní číslo \[ y'(x_0) = y_r'(x_0) + iy_i'(x_0) \] nazveme derivací komplexní funkce \(y\) v bodě \(x_0.\) Nyní uvažujme libovolné komplexní číslo \(\lambda = \lambda_r + i\lambda_i\in\mathbb C\) a funkci \(g: \mathbb R\to \mathbb C\) definovanou předpisem \[ g(x) = e^{\lambda x} = e^{\lambda_r x}(\cos\lambda_ix + i\cdot\sin\lambda_ix). \] Příklad. Ukažme, že platí: \[ \frac{d}{dx}e^{\lambda x} = \lambda e^{\lambda x}, \tag{3} \] \(\forall \lambda\in\mathbb C,\) \(\forall x\in\mathbb R.\)
Řešení. Podle definice derivace komplexní funkce musíme spočítat následující derivace: \[ \frac{d}{dx}(e^{\lambda_ix}\cos\lambda_ix) \ \ \textrm{ a } \frac{d}{dx}(e^{\lambda_rx}\sin\lambda_ix). \] \begin{eqnarray} \frac{d}{dx}(e^{\lambda_ix}\cos\lambda_ix) &=& \lambda_r e^{\lambda_r x}\cos\lambda_ix - \lambda_ie^{\lambda_rx}\sin\lambda_ix. \end{eqnarray} \[ \frac{d}{dx}(e^{\lambda_rx}\sin\lambda_ix) = \lambda_r e^{\lambda_rx}\sin\lambda_ix + \lambda_ie^{\lambda_rx}\cos\lambda_ix. \] Tedy, \[ \frac{d}{dx}(e^{\lambda x}) = (\lambda_re^{\lambda_rx}\cos\lambda_ix - \lambda_i e^{\lambda_rx}\sin\lambda_ix) + i(\lambda_r e^{\lambda_rx}\sin\lambda_ix + \lambda_i e^{\lambda_rx} \cos\lambda_ix). \] Vyjádřeme reálnou a imaginární část výrazu \(\lambda e^{\lambda x}\): \begin{eqnarray} \lambda e^{\lambda x} &=& (\lambda_r + i\lambda_i) (e^{\lambda_rx}\cos\lambda_ix + ie^{\lambda_rx}\sin\lambda_ix)\\ &=& \lambda_r e^{\lambda_rx}\cos\lambda_ix + i\lambda_re^{\lambda_rx}\sin\lambda_ix + i\lambda_ie^{\lambda_rx}\cos\lambda_ix - \lambda_ie^{\lambda_rx}\sin\lambda_ix\\ &=& (\lambda_r e^{\lambda_rx}\cos\lambda_ix - \lambda_i e^{\lambda_rx}\sin\lambda_ix) + i(\lambda_r e^{\lambda_rx}\sin\lambda_ix + \lambda_i e^{\lambda_rx} \cos\lambda_ix). \end{eqnarray} Odtud plyne dokazovaná rovnost (3).

Operátorový tvar rovnice

Je-li \(L\) zobrazení, které je definováno pro každou dvakrát spojitě diferencovatelnou funkci \(y:I\to\mathbb R\) předpisem \[ L(y) = y'' + ay' + by, \tag{4} \] pak lze rovnici (1) zapsat v tomto tvaru: \[ L(y) = f. \tag{5} \] Nechť \(I\subset\mathbb R\) je interval. Označíme-li symbolem \(C^{(2)}(I)\) vektorový prostor všech reálných dvakrát spojitě diferencovatelných funkcí a symbolem \(C(I)\) vektorový prostor všech reálných spojitých funkcí na intervalu \(I\), potom lze považovat \(L\) za zobrazení prostoru \(C^{(2)}(I)\) do prostoru \(C(I).\) Tedy \[ L:C^{(2)}(I) \to C(I). \] Zobrazení \(L\) někdy nazýváme diferenciálním operátorem.
Věta 1. Operátor \(L:C^{(2)}(I) \to C(I)\) definovaný předpisem (4) je lineárním operátorem, tj. \[ L(\alpha y + \beta z) = \alpha Ly + \beta Lz, \tag{6} \] pro každé \(\alpha,\beta\in\mathbb R\) a pro každé \(y,z\in C^{(2)}(I).\) Věta též platí pro komplexní funkce \(y,z: I\to\mathbb C\) a pro \(\alpha,\beta\in\mathbb C.\)
Důkaz. Nechť \(\alpha,\beta\in\mathbb R\) a \(y,z\in C^{(2)}(I)\). Potom platí \begin{eqnarray} L(\alpha y + \beta z) &=& (\alpha y + \beta z)'' + a(\alpha y + \beta z)'+ b(\alpha y + \beta z)\\ &=& \alpha y'' + \beta z'' + a\alpha y' + a\beta z' + b\alpha y + b\beta z\\ &=& \alpha (y'' + ay' + by) + \beta(z'' + az' + bz)\\ &=& \alpha Ly + \beta Lz. \end{eqnarray} V důkazu jsme využili linearitu 1. a 2. derivace reálných funkcí. Důkaz pro komplexní funkce plyne z toho, že derivace komplexních funkcí je též lineární operací.\(\Box\)

Řešení homogenní rovnice

Uvažujme homogenní rovnici \[ (Ly = ) y'' + ay' + by = 0. \] Přiřaďme této rovnici tzv. charakteristický polynom: \[ \chi(\lambda) = \lambda^2 + a\lambda + b. \] Nechť je nyní \(\lambda\in\mathbb C\) libovolné, pak \[ L(e^{\lambda x}) = \chi(\lambda)e^{\lambda x}. \tag{7} \] Tento vztah snadno dokážeme s využitím vztahu (3) a linearity derivace: \begin{eqnarray} L(e^{\lambda x}) &=& \frac{d^2}{dx^2}(e^{\lambda x}) + a\frac{d}{dx}(e^{\lambda x}) + b\cdot e^{\lambda x} \\ &=& \lambda\frac{d}{dx}(e^{\lambda x}) + a\lambda e^{\lambda x} + b e^{\lambda x} \\ &=& \lambda^2 e^{\lambda x} + a\lambda e^{\lambda x} + b e^{\lambda x}\\ &=& (\lambda^2 + a\lambda + b)e^{\lambda x}. \end{eqnarray} Nyní lze říci, že \[ \left\{ \begin{matrix} y = e^{\lambda x} & \text{ řeší homogenní rovnici }\\ \iff & \chi(\lambda) = 0. \end{matrix} \right\} \tag {8} \] Všimněme si, že jako řešení připouštíme i komplexní funkci neboť jsme dali význam derivaci komplexní funkce.
Dále nechť \(\lambda\in\mathbb C\) je opět libovolné komplexní číslo. Pak platí: \[ L(x e^{\lambda x}) = \chi(\lambda)x e^{\lambda x} + \chi'(\lambda)e^{\lambda x}, \tag{9} \] kde \(\chi'(\lambda)\) značí derivaci polynomu \(\chi(\lambda).\) Tedy \(\chi'(\lambda) = 2\lambda + a.\) Dokažme nyní vztah (9): \begin{eqnarray} \frac{d}{dx}(x e^{\lambda x}) &=& e^{\lambda x} + x\lambda e^{\lambda x}\\ \frac{d^2}{dx^2}(x e^{\lambda x}) &=& \frac{d}{dx}(e^{\lambda x} + x\lambda e^{\lambda x}) = \frac{d}{dx}(e^{\lambda x}) + \lambda(e^{\lambda x} + x\lambda e^{\lambda x}) = (2\lambda + \lambda^2 x) e^{\lambda x} \implies \end{eqnarray} \begin{eqnarray} L(x e^{\lambda x}) &=& (2\lambda + \lambda^2 x)e^{\lambda x} + a(1 + \lambda x)e^{\lambda x} + bx e^{\lambda x}\\ &=& (\lambda^2 + a\lambda + b)x e^{\lambda x} + (2\lambda + a)e^{\lambda x}\\ &=& \chi(\lambda)x e^{\lambda x} + \chi'(\lambda)e^{\lambda x}. \end{eqnarray} Tedy \[ \tag{10} \left\{ \begin{matrix} y = x e^{\hat\lambda x} & \text{ řeší rovnici (2)}\\ \iff & \chi(\hat\lambda) = 0 \text{ a } \chi'(\hat\lambda) = 0, \end{matrix} \right\} \] tj. \(\hat\lambda \text{ je dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice } \chi(\lambda) = 0. \) Má-li tedy charakteristická rovnice dva různé kořeny \(\lambda_1, \lambda_2,\) pak funkce \[ y_1(x) = e^{\lambda_1 x}\ \ \text{ a } y_2(x) = e^{\lambda_2 x} \] jsou dvě různá řešení homogenní rovnice (2).
Věta 2. Jsou-li \(y_1,y_2:I\to\mathbb R(\mathbb C)\) dvě řešení homogenní rovnice (2), pak pro každé dvě konstanty \(C_1, C_2\in\mathbb C\) je funkce \(y = C_1y_1 + C_2y_2\) též řešením rovnice (2).
Důkaz. Tvrzení věty je v podstatě důsledkem předchozí věty: \[ L(C_1y_1 + C_2y_2) = C_1L(y_1) + C_2L(y_2) = C_1\cdot 0 + C_2\cdot 0 = 0. \] \(\Box\)
Poznamenejme, že lze dokázat obrácené tvrzení. Tedy je-li \(y(x)\) libovolné řešení rovnice (2), pak existují konstanty \(C_1,C_2\) takové, že \[ y = C_1y_1 + C_2y_2. \tag{11} \] Funkce \(y_1,y_2\) jsou zde dvě různá lineárně nezávislá řešení odpovídající dvěma různým kořenům charakteristické rovnice : \[ y_1(x) = e^{\lambda_1 x},\ \ \ y_2(x) = e^{\lambda_2 x} \] a nebo dvě různá řešení odpovídající dvojnásobnému kořenu charakteristické rovnice: \[ y_1(x) = e^{\lambda x},\ \ \ y_2(x) = x e^{\lambda x}. \] Vyštřeme ještě případ, kdy má charakteristická rovnice dva různé komplexně sdružené kořeny \(\lambda_{1,2} = \lambda_r \pm i\lambda_i.\) Pak \begin{eqnarray} y_1(x) &=& e^{(\lambda_r + i\lambda_ix)} = e^{\lambda_r x}(\cos\lambda_i x + i\sin \lambda_i x)\\ y_2(x) &=& e^{\lambda_rx}(\cos\lambda_i x - i\sin\lambda_i x). \end{eqnarray} Potom je funkce \[ \tilde y_1(x) = \frac{1}{2}(y_1(x) + y_2(x)) \] reálná funkce, která je řešením rovnice (2). Stejně tak je funkce \[ \tilde y_2(x) = \frac{1}{2i}(y_1(x) + y_2(x)) \] reálným řešením homogenní rovnice (2) lineárně nezávislým na řešení \(\tilde y_1(x).\) Odtud máme: \[ \tilde y_1(x) = e^{\lambda_r x}\cos\lambda_i x,\ \ \ \tilde y_2(x) = e^{\lambda_r x}\sin\lambda_i x. \] Ve všech případech jsme tedy obdrželi dvě různá lineárně nezávislá reálná řešení. Pak lze libovolné reálné řešení homogenní rovnice (2) \(y(x)\) vyjádřit ve tvaru: \[ y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x), \tag{12} \] kde \(C_1,C_2\in\mathbb R\) jsou konstanty a \(y_1,y_2\) jsou na sobě lineárně nezávislá řešení rovnice (2).

Řešení nehomogenní rovnice

Vzorec (11) resp. (12) udává tvar obecného řešení homogenní rovnice (2) závislé na volbě parametrů \(C_1,C_2.\) Zvolíme-li parametry \(C_1,C_2\) konkrétně, obdržíme tzv. partikulární řešení rovnice. Označme jako \(y_p\) partikulární řešení nehomogenní rovnice (1) a \(y_h(x;C_1,C_2)\) obecné řešení homogenní rovnice (2). Dále nechť \(y(x;C_1,C_2)\) označuje obecné řešení nehomogenní rovnice. Nyní platí následující věta:
Věta 3. Obecné řešení nehomogenní rovnice (1) má tvar: \[ y(x;C_1,C_2) = y_h(x;C_1,C_2) + y_p(x). \tag{13} \] Důkaz. Dosadíme-li do rovnice předpokládané řešení, dostaneme \[ L(y_h + y_p) = L(y_h) + L(y_p) = 0 + f = f. \] Nechť naopak \(y(x)\) je libovolné řešení nehomogenní rovnice (1), potom máme: \[ L(y - y_p) = L(y) - L(y_p) = f - f = 0. \] Tudíž je funkce \(y - y_p\) řešení homogenní rovnice (2) a tedy exisují konstanty \(C_1,C_2\) takové, že \(y(x) - y_p(x) = y_h(x;C_1,C_2).\) Odtud pak plyne dokazovaný vzorec (13). \(\Box\)
Nyní zobecněme vzorec (9). Uvažujme libovolné komplexní číslo \(\lambda\in \mathbb C\) a polynom \(q_m(x)\) stupně \(m.\) Ukažme, že platí: \[ L(q_m(x)e^{\lambda x}) = (\chi(\lambda) q_m(x) + \chi'(\lambda)q_m'(x) + q_m''(x))e^{\lambda x}. \tag{14} \] \begin{eqnarray} \frac{d}{dx}(q_m(x)e^{\lambda x}) &=& q_m'(x)e^{\lambda x} + q_m(x)\lambda e^{\lambda x},\\ \frac{d^2}{dx^2}(q_m(x)e^{\lambda x}) &=& \frac{d}{dx} (q_m'(x)e^{\lambda x} + q_m(x)\lambda e^{\lambda x})\\ &=& q_m''(x)e^{\lambda x} + q'_m(x)\lambda e^{\lambda x} + q_m(x)\lambda^2 e^{\lambda x}. \end{eqnarray} Odtud pak plyne: \begin{eqnarray} L(q_m(x)e^{\lambda x}) &=& (q_m(x)e^{\lambda x})'' + a(q_m(x)e^{\lambda x})' + b(q_m(x)e^{\lambda x})\\ &=& q''_m(x)e^{\lambda x} + q_m'(x)\lambda e^{\lambda x} + q_m(x)\lambda^2 e^{\lambda x} + a(q_m'(x)e^{\lambda x} + q_m(x)\lambda e^{\lambda x}) + bq_m(x)e^{\lambda x}\\ &=& [q_m(x)(\lambda^2 + a\lambda + b) + q_m'(x)(2\lambda + a) + q_m''(x)]e^{\lambda x}\\ &=& (\chi(\lambda)q_m(x) + \chi'(\lambda)q_m'(x) + q_m''(x))e^{\lambda x}. \end{eqnarray} Takto jsme dokázali formuli (14).

Rovnice se speciální pravou stranou

Věta 4. Uvažujme rovnici (1), kde pravá strana má tvar: \(f(x) = p(x)e^{\lambda x},\) a kde \(p(x)\) je polynom stupně \(n\) a \(\lambda\in\mathbb C.\) Nechť \(k = 0\) pokud \(\lambda\) není kořenem charakteristické rovnice a pokud je \(\lambda\) kořenem charakteristické rovnice, potom \(k\) nechť označuje násobnost kořene \(\lambda.\) Potom existuje polynom \(q(x)\) stupně \(n\) takový, že funkce: \[ y(x) = x^k q(x) e^{\lambda x} \tag {15} \] je řešením rovnice (1).
Věta 5. Buďte \(P(x), Q(x)\) polynomy stupně \(n_1, n_2\in\mathbb N,\) \(\alpha, \beta\in\mathbb R\) a nechť má pravá strana rovnice (1) tvar: \[ f(x) = e^{\alpha x}(P(x)\cos\beta x + Q(x)\sin\beta x). \] Pak existují polynomy \(R(x), S(x)\) stupně \(n = \max(n_1, n_2)\) takové, že funkce \[ y(x) = x^k e^{\alpha x}(R(x)\cos\beta x + S(x)\sin\beta x), \] kde \(k = 0\) pokud \(\lambda = \alpha + i\beta\) není kořenem charakteristické rovnice a jinak je \(k\) násobnost \(\lambda = \alpha + i\beta\) jako kořene charakteristické rovnice.
Příklad. Najděme obecné řešení rovnice \[ y'' + y' - 6y = 3x^2 - x + 2. \] Řešení. Řešme nejdříve příslušnou homogenní rovnici: \[ y'' + y' - 6y = 0. \] charakteristická rovnice má tvar: \[ \lambda^2 + \lambda - 6 = 0. \] Kořeny jsou \(\lambda_1 = -3,\lambda_2 = 2.\) Odtud dostaneme tvar obecného řešení homogenní rovnice: \[ y_h(x;C_1,C_2) = C_1 e^{-3x} + C_2e^{2x}. \] Hledejme partikulární řešení \(y_p\) ve tvaru: \[ y_p(x) = \alpha x^2 + \beta x + \gamma, \] kde \(\alpha,\beta,\gamma\) jsou neznámé parametry. Spočtěme nyní derivace \(y_p', y_p''\) a dosaďme do rovnice: \[ y_p'(x) = 2\alpha x + \beta,\ \ \ y_p''(x) = 2\alpha. \] Pak máme: Po dosazení a úpravě dostáváme podmínku: \[ -6\alpha x^2 + (2\alpha - 6\beta)x + (2\alpha + \beta - 6\gamma) = 3x^2 - x + 2. \] Odtud plynou podmínky pro neznámé parametry: \begin{eqnarray} -6\alpha &=& 3\\ 2\alpha - 6\beta &=& -1\\ 2\alpha + \beta - 6\gamma &=& 2 \end{eqnarray} Odtud dostáváme: \(\alpha = -\frac{1}{2},\) \(\beta = 0,\) \(\gamma = -\frac{1}{2}\) a partikulární řešení nehomogenní rovnice má tvar: \[ y_p(x) = -\frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(x^2 + 1). \] Obecné řešení je pak rovno \[ y(x;C_1,C_2) = y_h(x;C_1,C_2) + y_p(x) = C_1 e^{-3x} + C_2e^{2x} + -\frac{1}{2}(x^2 + 1). \]

Princip superpozice

předpokládejme, že máme dánu rovnici ve tvaru: \[ y'' + ay' + by = \sum_{i=1}^K f_i, \] neboli \[ L(y) = \sum_{i=1}^K f_i. \tag{15} \] Dále předpokládejme, že pro každé \(i = 1,\ldots,K\) je \(y_p^i(x)\) partikulárním řešením rovnice \[ L(y) = f_i. \] Nyní z linearity operátoru \(L\) vyplývá: \[ L(\sum_{i=1}^K y_p^i) = \sum_{i=1}^K L(y_p^i) = \sum_{i=1}^K f_i. \] Tedy funkce \(y_p = \sum_{i=1}^K y_p^i\) řeší rovnici (15).

Úlohy

1. Najděte obecné řešení rovnice \[ y'' -2y' + y = xe^{3x}. \] Řešení. Řešení je prezentováno ve videu zde .
2. Najděte řešení rovnice \[ y'' -5y' + 4y = 2x + 1 \] takové, aby byly splněny počáteční podmínky: \(y(0) = 7/8\) a \(y'(0) = 0.\)
Řešení. Řešení je prezentováno ve videu zde .
3. Najděte obecné řešení rovnic:
(a) \[ y'' - 4y' + 4y = e^{2x}. \] [Řešení: \(y(x;C_1,C_2) = (C_1 + C_2 x)e^{2x} + \frac{1}{2}x^2e^{2x},\ C_1,C_2\in\mathbb R.\)]
(b) \[ y'' - 3y' + 2y = e^x. \] [Řešení: \(y(x;C_1,C_2) = C_1e^{x} + C_2e^{2x} - xe^{x},\ C_1,C_2\in\mathbb R.\)]
(c) \[ y'' - 9y = e^{-3x}. \] [Řešení: \(y(x;C_1,C_2) = C_1e^{-3x} + C_2e^{3x} - \frac{1}{6}xe^{-3x},\ C_1,C_2\in\mathbb R. \)]
4. Řešte následující počáteční úlohu: \[ y'' + 2y' + 5y = 0, \] \(y(0) = 0,\) \(y'(0) = 2.\)
[Řešení: \(y(x) = e^{-x}\sin 2x.\)]