Riemannův n-rozměrný integrál

Obsah:

  1. Riemannův integrál v \(\mathbb R^n\)
  2. Výpočet Riemannova dvojrozměrného integrálu

Riemannův integrál v \(\mathbb R^n\)

Definice. Dvourozměrným uzavřeným obdélníkem budeme rozumět jakoukoli množinu $$ B = \langle a_1, b_1\rangle\times\langle a_2,b_2\rangle, $$ kde \(a_i\le b_i,\ i=1,2.\) Obsah obdélníka \(B\) se definuje vztahem $$ \nu(B) = (b_1-a_1)\cdot(b_2-a_2). $$ Je-li \(I = \langle a,b\rangle\), \(a \lt b\) jednorozměrný interval, pak dělením intervalu \(I\) rozumíme jakoukoli množinu \(P = \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\subset\langle a,b\rangle,\ \ n\ge 1\), kde platí: $$ a = x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_{n-1} \lt x_n = b. $$ Systém všech dělení intervalu \(\langle a,b\rangle\) označíme symbolem \(\mathcal P(\langle a,b\rangle).\) Dílčím intervalem dělení \(P = \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\) rozumíme jakýkoli interval \(I = \langle x_j, x_{j+1}\rangle,\) kde \(0\le j < n.\) Dělením dvourozměrného obdélníka \(B = \langle a_1, b_1\rangle\times\langle a_2,b_2\rangle\) rozumíme jakoukoli množinu \(P \subset B,\) pro kterou existují dělení \(P_1\in\mathcal P(\langle a_1,b_1\rangle)\) a \(P_2\in\mathcal P(\langle a_2,b_2\rangle)\) taková, že $$ P = P_1\times P_2. $$ Systém všech dělení dvojrozměrného intervalu \(B\) označíme ve shodě s jednorozměrným případem symbolem \(\mathcal P(B).\) Dílčím intervalem příslušným dělení \(P\) dvojrozměrného intervalu \(B = \langle a_1, b_1\rangle\times\langle a_2,b_2\rangle\) rozumíme interval \(J = I_1\times I_2,\) kde \(I_1\) resp. \(I_2\) jsou dílčími intervaly dělení \(P_1\in\mathcal P(\langle a_1,b_1\rangle)\) resp. \(P_2\in \mathcal P(\langle a_2,b_2\rangle).\) Mějme dále dánu omezenou reálnou funkci \(f:B\to\mathbb R\) na dvojrozměrném intervalu \(B\subset\mathbb R^2\) a nechť \(P\in\mathcal P(B).\) Potom pro každý dílčí interval \(I\) dělení zavedme označení $$ m_I(f) := \inf_{x\in I}f(x),\ \ \ M_I(f) := \sup_{x\in I}f(x). $$ Nyní budeme definovat dolní resp. horní integrální součet příslušný funkci \(f\) a dělení \(P\) vztahy $$ L(f,P) := \sum_I m_I(f)\nu(I),\ \ \ U(f,P) := \sum_I M_I(f)\nu(I), $$ kde sčítáme přes všechny dílčí intervaly \(I\) dělení \(P.\) Řekneme, že funkce Riemannovsky integrabilní, jestliže platí: $$ \sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P), $$ kde suprémum a infimum je bráno přes všechna dělení \(P\in\mathcal P(B).\) Je-li funkce Riemannovsky integrabilní, potom společnou hodnotu \(\sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P)\) nazveme Riemannovým integrálem funkce \(f\) přes uzavřený interval \(B\). Tuto hodnotu označíme symbolem \(\int_B f.\) Alternativně se značí hodnota Riemannova integrálu takto: \(\int_B f(\vec x)d\vec x\) nebo \(\iint_B f(x_1,x_2)dx_1dx_2.\)

Poznámky k definici

1. Pro libovolné dělení \(P\in\mathcal P(B)\) zřejmě platí: $$ L(f,P) \le U(f,P). $$ 2. Pro dvě libovolná dělení \(P_1,P_2\in\mathcal P(B)\) platí nerovnost $$ L(f,P_1) \le U(f,P_2). $$ 3. Množina dolních integrálních součtů $$ \{L(f,P): P\in\mathcal P(B)\} $$ a množina horních integrálních součtů $$ \{U(f,P): P\in\mathcal P(B)\} $$ jsou omezenými množinami.
4. Platí: $$ \sup\{L(f,P):P\in\mathcal P(B)\} \le \inf\{U(f,P):P\in\mathcal P(B)\}. $$ 5. Je-li \(B\subset\mathbb R^2\) uzavřený dvojrozměrný interval a \(f:\mathbb R^2\supset\to\mathbb R,\) přičemž platí \(B\subset D_f\), potom je funkce \(f\) Riemannovsky integrabilní na obdélníku \(B\), je-li zúžení \(f\vert_B\) funkce \(f\) na obdélník \(B\) Riemannovsky integrabilní, přičemž \(\int_B f :=\int_Bf\vert_B.\)

Postačující podmínka integrability

Věta. Je-li \(B\subset\mathbb R^2\) uzavřený dvojrozměrný interval a \(f:B\to\mathbb R\) je omezená funkce, potom je funkce \(f\) Riemannovsky integrabilní, je-li spojitá všude s vyjímkou bodů ležících na konečném počtu hladkých křivek.

Riemannův integrál přes omezenou množinu

Předpokládejme, že \(S\subset\mathbb R^2\) je omezenou množinou. Tedy existuje uzavřený obdélník \(B\subset\mathbb R^2\) takový, že \(S\subset B.\) Uvažujme nyní funkci \(f:S\to\mathbb R.\) Potom symbol \(f_S\) značí funkci, která je rozšířením funkce \(f\) nulou a danou předpisem: $$ f_S(x) = \begin{cases} f(x), & x\in S\\ 0, & x\notin S. \end{cases} $$ Je-li \(f:S\to\mathbb R\) omezenou funkcí na množině \(S\), potom řekneme, že funkce \(f\) je Riemannovosky integrabilní na obdélníku, je-li rozšíření \(f_S\) Riemannovsky integrabilní funkcí na obdélníku \(B\subset\mathbb R^2,\) který obsahuje množinu \(S\) jako svoji podmnožinu. Pak definujeme: $$ \int_S f := \int_B f_S. $$

Poznámky k definici

Platí následující pomocná věta:
Lemma. Nechť \(S\subset\mathbb R\) je omezená množina a \(f:S\to\mathbb R\) je omezenou funkcí, takovou, že existuje Riemannův integrál \(\int_B f_S\) na uzavřeném dvojrozměrném obdélníku \(B\) obsahujícím množinu \(S\) jako svoji podmnožinu. Potom existuje Riemannův integrál \(\int_{B'}f_S\) pro jakýkoli uzavřený dvojrozměrný interval \(B'\) obsahující množinu \(S\) jako svoji podmnožinu a platí: $$ \int_B f_S = \int_{B'} f_S. $$ Předchozí lemma vlastně říká, že existence ani hodnota Riemannova intrgrálu \(\int_Sf\) nezávisí na volbě uzavřeného dvojrozměrného intervalu \(B\) takového, že \(S\subset B.\)

Vlastnosti Riemannova integrálu

Věta (Linearita). Je-li \(B\) uzavřený dvojrozměrný interval v \(\mathbb R^2\) a \(f,g:B\to\mathbb R\) Riemannovsky integrabilní funkce a jsou-li \(\alpha,\beta\in\mathbb R,\) potom je funkce \(\alpha f + \beta g\) Riemannovsky integrabilní funkcí a platí: $$ \int_B (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_B f + \beta\int_B g. $$

Odhad hodnoty dvojného integrálu

Věta. Předpokládejme, že \(B = \langle a,b\rangle\times\langle c,d\rangle.\) Dále nechť pro \(m,n\in\mathbb N\) je \(\Delta x = (b-a)/m,\ \Delta y = (d-c)/n.\) Dále pak \(\Delta B = \Delta x\cdot\Delta y\) a pro každé \(i\in\{0,1,\ldots,m\},\ j\in\{0,1,\ldots,n\}\) je \(x_i = a + i\cdot \Delta x,\ y_j = c + j\cdot\Delta y.\) Pak $$ \iint_B f(x,y)dxdy \approx \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n f(\bar x_i,\bar y_j)\Delta B. $$ Zde je \(\bar x_i\) resp. \(\bar y_j\) střed intervalu \(\langle x_{i-1}, x_i\rangle\) resp. intervalu \(\langle y_{j-1}, y_j\rangle.\)

Popišme nyní podrobně, jak budeme počítat uvedený odhad. Nejdříve sestrojme rovnoměrné dělení intervalu \(\langle a,b\rangle\) a pak rovnoměrné dělení intervalu \(\langle c,d\rangle.\)
Příklad. Uvažujme funkci \(f(x,y) = x-3y^2.\) Odhadněmě hodnotu dvojného integrálu $$ I = \iint_B(x-3y^2)dxdy, $$ kde \(B = \{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\ 1\le y\le 2\}.\)

Řešení. Viz. jupyter notebook zde.

Výpočet Riemannova dvojného integrálu

Fubiniova věta

Věta Předpokládejme, že funkce \(z = f(x,y)\) je spojitá na obdélníku $$ B = \{(x,y) \mid a\le x\le b,\ c\le y\le d\}. $$ Potom platí: $$ \iint_B f(x,y)dB = \int_a^b\int_c^d f(x,y)dydx = \int_c^d\int_a^b f(x,y)dxdy. $$ Tedy z předpokladu spojitosti funkce \(f\) plyne existence obou tzv. dvojnásobných integrálů napravo stejně jako tzv. dvojného integrálu vlevo a platí uvedené rovnosti.

Věta (Věta o substituci). Nechť \(U\subset R^{n}\) je otevřená množina a \(g:U\rightarrow \mathbb{R}^{n}\) je bijekce, \(g\in C^{1}\left( U\right)\) a \(\forall x\in U\) je \(J_{g}\left( x\right) \neq 0\). Je-li pak funkce \(f:g\left( U\right) \rightarrow \mathbb{R}\) integrabilnı́ na množině \(g\left( U\right)\), potom \[ \int_{g\left( U\right) }fdV= \int_{U}\left( f\circ g\right) |J_{g}|dV. \]

Text najdete zde.