Riemannův integrál

Pojem Riemannova integrálu: Riemannova definice integrálu

Definice dělení intervalu. Mějme dán omezený uzavřený interval \(I = \langle a,b\rangle,\ a\lt b \). Dělením intervalu \(I\) rozumíme jakoukoli množinu \(P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\subset\langle a,b\rangle\), \(n\ge 1,\) kde platí: \[ a=x_0 \lt x_1\lt \ldots \lt x_{n-1} \lt x_n=b. \] Systém všech dělení intervalu \(\langle a,b\rangle\) označíme symbolem \(\mathcal P(\langle a,b\rangle).\) Jestliže, \(P, P' \in \mathcal P(\langle a,b\rangle,)\) potom řekneme, že dělení \(P'\) je zjemněním dělení \(P\), jestliže \(P\subseteq P'.\) Normou dělení \(P\) nazveme číslo: \[ \nu(P):= \max\{x_1-x_0,x_2-x_1,\ldots,x_n-x_{n-1}\}. \]

Definice. Mějme dánu funkci \(f:\langle a,b\rangle\to \mathbb R(\mathbb C)\) a \(P = \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\) je dělením intervalu \(\langle a,b\rangle.\) Symbolem \(N(P)\) budeme označovat všech takových uspořádaných n-tic \((\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n)\in\mathbb R^n\) takových, že \(\xi_i\in\langle x_{i-1},x_i\rangle,\) \(i=1,\ldots,n.\) Dále, je-li \(\xi = (\xi_1,\ldots,\xi_n)\in N(P),\) pak číslo \[ \sigma(f,P,\xi):= \sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) \] nazýváme Riemannovým integrálním součtem funkce \(f\) příslušným dělení \(P\) a n-tici \(\xi\in N(P).\)

Definice. Číslo \(A\in\mathbb R(\mathbb C)\) se nazývá Riemannovým integrálem funkce \(f\) přes interval \(\langle a,b\rangle,\) jestliže \(\ \forall \varepsilon > 0\ \exists\delta > 0\ \forall P\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\) pokud \(\nu(P) \lt \delta\), potom pro každou n-tici \(\xi\in N(P)\) platí: \[ \vert\sigma(f,P,\xi) - A\vert \lt \varepsilon. \]

Darbouxova definice integrálu

Definice Nechť \(f:\langle a,b\rangle\to\mathbb R\) je omezená funkce. Dále nechť \(P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\in \mathcal P(\langle a,b\rangle).\) Dále položme pro každé \(i\in\{1,\ldots,n\}:\) \begin{eqnarray*} m_i&:=&\inf\{f(x):\ x\in \langle x_{i-1},x_i\rangle\}\\ M_i&:=&\sup\{f(x):\ x\in \langle x_{i-1},x_i\rangle\}. \end{eqnarray*} K funkci \(f\) a dělení \(P\) definujeme tzv. dolní integrální součet vztahem: \[ s(f, P):= \sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1}) \] a tzv. horní integrální součet vztahem: \[ S(f, P):= \sum_{i=1}^n M_i(x_i-x_{i-1}). \]

Definice Položíme-li \(m:=\inf\{f(x):\ x\in\langle a,b\rangle\},\) \(M:=\sup\{f(x):\ x\in\langle a,b\rangle\},\) potom platí: \[ m(b-a)\le s(f,P)\le S(f,P)\le M(b-a). \] (Důkaz je snadným cvičením.) Horním Darbouxovým integrálem budeme rozumět číslo: \[ \overline{\int_a^b} f(x)dx := \inf\{S(f,P):\ P\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\} \] a dolním Darbouxovým integrálem budeme rozumět číslo: \[ \underline{\int_a^b} f(x)dx := \sup\{s(f,P):\ P\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\}. \]

Definice Je-li dolní Darbouxův integrál roven hornímu Darbouxovu integrálu, potom jejich společnou hodnotu nazveme Darbouxovým integrálem z funkce \(f\) přes interval \(\langle a,b\rangle\) a píšeme: \[ \int_a^b f(x)dx := \underline{\int_a^b}f(x)dx = \overline{\int_a^b}f(x)dx. \]

Definice Je-li \(f:\langle a,b\rangle\to\mathbb C,\) komplexní funkce, kde \(f = (Re f) + i(Im f),\) pak řekneme, že funkce \(f\) má (Darbouxův) integrál pře interval \(\langle a,b\rangle,\) mají-li reálné funkce \((Re f)\) a \((Im f)\) (Darbouxův) integrál přes interval \(\langle a,b\rangle\) přičemž definujeme: \[ \int_a^b f(x)dx := \int_a^b(Re f)(x)dx + i\int_a^b(Im f)(x)dx. \]

Věta (Ekvivalence Riemannova a Darbouxova integrálu). Reálná nebo komplexní funkce \(f\) má integrál přes interval \(\langle a,b\rangle\) resp. \od \(a\) do \(b\) ve smyslu Riemannovy definice, právě když má integrál ve smyslu Darbouxovy definice. Pak hodnoty obou typů integrálů jsou si rovny.

Lemma. Je-li \(f\) reálná funkce definovaná a omezená na intervalu \(\langle a,b\rangle\) , pak má funkce \(f\) Darbouxův integrál \(\int_a^b f(x)dx,\) právě když pro každé \(\varepsilon \gt 0\) existuje dělení \(P_{\varepsilon}\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\) takové, že platí: \[ S(f, P_{\varepsilon}) - s(f, P_{\varepsilon}) \lt \varepsilon. \]

Důkaz. Definujme \begin{eqnarray*} D &=& \sup\{s(f,P): P\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\},\\ H &=& \inf\{S(f,P'): P'\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\}. \end{eqnarray*} Odtud plyne, že \(D\le H.\) Předpokládejme, že pro každé \(\varepsilon\gt 0\) existuje \(P\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\) tak, že platí \(S(f,P) - s(f, P) \lt \varepsilon.\) Navíc platí \[ H - D \le S(f, P) - s(f, P) \lt \varepsilon. \] Jelikož jsme volili \(\varepsilon\gt 0\) libovolně, platí \(D=H\) a tudíž existuje \(\int_a^b f(x)dx.\) Naopak, předpokládejme existenci Riemannova interálu \(\int_a^b f(x)dx\) a nechť \(\varepsilon \gt 0.\) Uvažujme pak dvě dělení \(P_1,P_2\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\) taková, že \[ 0\le D - s(f, P_1) \lt \varepsilon/2 \] a \[ 0\le S(f, P_2) - H \lt \varepsilon/2. \] Pro společné zjemnění \(P = P_1\cup P_2\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\) pak platí \[ S(f, P) - s(f, P) \lt \varepsilon. \] \(\Box\)

Základní vlastnosti Riemannova integrálu

Označme symbolem \(\mathcal R(\langle a,b\rangle)\) množinu všech funkcí majících na intervalu \(\langle a,b\rangle\) Riemannův integrál.

Věta. Nechť \(f,g\in\mathcal R(\langle a,b\rangle).\) Pak platí:
1) \((f+g)\in\mathcal R(\langle a,b\rangle)\) a \[ \int_a^b(f+g)(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx. \] 2) \(\forall \alpha\in\mathbb R:\) \((\alpha\cdot f)\in\mathcal R(\langle a,b\rangle)\) a \[ \int_a^b(\alpha\cdot f)(x)dx = \alpha\int_a^b f(x)dx. \] 3) \(\vert f\vert\in\mathcal R(\langle a,b\rangle)\ \) a \[ \left\vert\int_a^b f(x)dx\right\vert \le \int_a^b f(x)dx. \]

Definice. 1) Pro libovolnou funkci \(f, a\in\mathbb R\) definujeme: \[ \int_a^a f(x)dx := 0. \] 2) Je-li \(b \lt a \) a \(f\in\mathcal R(\langle b,a\rangle),\) pak definujeme: \[ \int_a^bf(x)dx := -\int_b^a f(x)dx. \]

Věta. Nechť \(a,b,c\in\mathbb R\) a \(f\in\mathcal R(\langle \alpha,\beta\rangle),\) kde \(\alpha = \min\{a,b,c\},\) \(\beta = \max\{a,b,c\}.\) Potom platí: \[ \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx = \int_a^b f(x)dx. \]

Věta. Nechť \(f,g ,h\in\mathcal R(\langle a,b\rangle)\) jsou tři reálné funkce. Pak
1) je-li \(h\ge 0\) na \(\langle a,b\rangle,\) pak \[ \int_a^b h(x)dx \ge 0; \] 2) je-li \(f\le g\) na \(\langle a,b\rangle,\) pak \[ \int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx; \] 3) je-li \(M = \sup_{x\in\langle a,b\rangle}f(x),\) pak \[ \int_a^b f(x)dx\le M(b-a). \]

Věta (O integrálu s proměnnou horní mezí). Nechť \(J\subset\mathbb R\) je interval a nechť funkce \(f:J\to\mathbb R\) má Riemannův integrál přes interval \(\langle \alpha,\beta\rangle\) kdykoliv \(\langle\alpha,\beta\rangle\subset J.\) Je-li pak \(c\in J\) libovolný pevný bod, potom funkce \[ F_c(x) = \int_c^x f(t)dt,\ \ x\in J \] má tyto vlastnosti:
1) \(F_c\) je na \(J\) spojitá.
2) Je-li funkce \(f\) spojitá v bodě \(x_0\in J,\) pak \(F_c'(x_0) = f(x_0).\)
3) Pro libovolné body \(c_1,c_2\in J\) je \[ F_{c_1}(x) - F_{c_2}(x) \equiv \textrm{konst.} = \int_{c_1}^{c_2}f(x)dx, \] \(x\in J.\)

Důsledek. Nechť funkce \(f\) je spojitá na intervalu \(J\subset\mathbb R.\) Pak má funkce \(f\) na intervalu \(J\) primitivní funkci. Pro dané \(c\in J\) je primitivní funkce \(F_c\), taková že \(F_C(c)=0\) daná vztahem: \[ F_c(x) = \int_c^x f(t)dt. \]

Věta (Newton-Leibnizův vzorec). Je-li funkce \(f\) spojitá na intervalu \(\langle a,b\rangle,\) a \(F\) je primitivní funkcí na \(\langle a,b\rangle,\) pak \[ \int_a^b f(x) dx = \left[F(x)\right]_a^b := F(b) - F(a). \]

Příklad. Vypočítejme Riemannův integrál \(\int_0^2 e^xdx\) s pomocí Newton-Leibnizova vzorce.
Řešení. \[ \int_0^2 e^xdx = [e^x]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1. \]

Příklad. Předpokládejme, že \[ f(x) = \begin{cases} x,\ \textrm{ pro } x\in\langle -1,0\rangle\\ 1 + x^3,\ \textrm{ pro } x\in\langle 0,1\rangle. \end{cases} \] Spočítejme Riemannův integrál: \[ \int_{-1}^{1} f(x)dx. \] Řešení. Podle věty o intervalové aditivitě lze vést výpočet následujícím způsobem, kdy rozdělíme integrační interval na dva podintervaly následovně: \begin{eqnarray*} \int_{-1}^1f(x)dx &=& \int_{-1}^0 xdx + \int_0^1 (1+ x^3)dx = [\frac{x^2}{2}]_{-1}^0 + [x + \frac{x^4}{4}]_0^1=\\ &=& -\frac{1}{2} + (1 + \frac{1}{4}) = \frac{3}{4}. \end{eqnarray*} Poznamenejme, že pro výpočet obou dílčích integrálů jsme využili Newton-Leibnizův vzorec.

Metody výpočtu Riemannova integrálu

Integrace metodou "Per Partes"

Věta. Nechť \(f, f',g,g'\) jsou spojité funkce na intervalu \(\langle a,b\rangle.\) Potom platí: \[ \int_a^b f(x)g'(x) dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x) dx. \]

Věty o substituci

Věta (1. věta o substituci). Nechť funkce \(\varphi\) má na intervalu \(\langle\alpha,\beta\rangle\) spojitou derivaci a funkce \(f\) nechť je spojitá na \(\varphi(\langle\alpha,\beta\rangle).\) Potom platí: \[ \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\varphi'(t)dt.\tag{*} \]

Důkaz. Ze spojitosti plyne existence obou integrálů ve vztahu (*). Je-li dále \(F\) primitivní funkcí k funkci \(f\) na intervalu \(\varphi(\langle\alpha,\beta\rangle),\) pak je složená funkce primitivní funkcí k funkci \((f\circ\varphi)\cdot\varphi'\) na intervalu \(\langle\alpha,\beta\rangle.\) Z Newton-Leibnizova vzorce pak plyne: \[ \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)dt = [F\circ\varphi]_{\alpha}^{\beta} = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha)) = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)dx. \] \(\Box\)

Věta (2. věta o substituci). Nechť funkce \(\varphi\) má na intervalu \(\langle\alpha,\beta\rangle\) spojitou derivaci, \(\varphi\) je ryze monotónní funkcí na intervalu \(\langle\alpha,\beta\rangle,\) \(A:=\varphi(\alpha),\) \(B:=\varphi(\beta).\) Je-li funkce \(f\) na intervalu \(\varphi(\langle\alpha,\beta\rangle)\) jehož koncovými body jsou body \(A,B\) spojitá, pak platí: \[ \int_A^B f(x)dx = \int_{\varphi^{-1}(A)}^{\varphi^{-1}(B)}f(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)dt. \]

Podmínky existence Riemannova integrálu

Věta. Je-li funkce \(f\) reálná nebo komplexní funkce, která je spojitá na intervalu \(\langle a,b\rangle,\) pak existuje Riemannův integrál \(\int_a^bf(x)dx.\)

Důkaz. Ověřme, že je splněna podmínka z předchozího lemmatu a nechť \(f\) je reálnou funkcí (komplexní případ je snadným důsledkem.) Poznamenejme, že ze spojitosti funkce \(f\) na intervalu \(\langle a,b\rangle\) plyne její stejnoměrná spojitost funkce \(f\) na intervalu \(\langle a,b\rangle\). Viz Cantor-Heineova věta o stejnoměrné spojitosti. Zvolíme-li tedy \(\varepsilon \gt 0\) libovolně, pak existuje \(\delta \gt 0\) takové, že \[ \vert f(x') - f(x'')\vert \lt \frac{\varepsilon}{b-a}, \] kdykoliv je \(x',x''\in\langle a,b\rangle\) a \(\vert x' - x''\vert \lt \delta.\) Nechť \(P_{\varepsilon} = \{x_0,x_1,\ldots,x_{n-1},x_n\}\) je dělením intervalu \(\langle a,b\rangle\) takové, že \(\nu(P_{\varepsilon}) \lt \delta.\) Z Weierstrassovy věty plyne, že \(\forall i\in \{1,\ldots,n\}\) existují body \(\xi_i,\eta_i\in \langle x_{i-1},x_i\rangle\) takové, že \(m_i = \inf_{x\in\langle x_{i-1},x_i\rangle} f(x) = f(\xi_i),\) a \(M_i = \sup_{x\in\langle x_{i-1}, x_i\rangle}f(x) = f(\eta_i).\) Pak zřejmě \(\forall i\in\{1,\ldots,n\}:\) \[ \vert \xi_i - \eta_i\vert \le (x_i - x_{i-1}) \le\nu(P_{\varepsilon})\lt\delta. \] Odtud máme: \[ M_i - m_i = f(\eta_i) - f(\xi_i) \lt \frac{\varepsilon}{b-a},\ i=1,\ldots,n. \] Tedy, \begin{eqnarray*} &&S(f,P_{\varepsilon}) - s(f,P_{\varepsilon}) = \sum_{i=1}^n (M_i -m_i)(x_i-x_{i-1})\\ &\lt& \sum_{i=1}^n \frac{\varepsilon}{b-a}(x_i-x_{i-1}) = \frac{\varepsilon}{b-a} \sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) = \\ &=& \frac{\varepsilon}{b-a}(b-a) = \varepsilon. \end{eqnarray*} \(\Box\)

Věta. Nechť \(f\) je monotónní a omezená funkce na intervalu \(\langle a,b\rangle.\) Pak má funkce \(f\) Riemannův integrál \(\int_a^bf(x)dx.\)

Důkaz. V důkazu opět vyjdeme z předchozího lemmatu. Pro určitost předpokládejme, že funkce \(f\) je na intervalu \(\langle a,b\rangle\) neklesající a nechť \(P\in\mathcal P(\langle a,b\rangle,\) \(P = \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}.\) Z toho , že \(f\) je neklesající vyplývá, že \[ m_i = \inf_{x\in\langle x_{i-1},x_i\rangle} f(x) = f(x_{i-1}), \] \[ M_i = \sup_{x\in\langle x_{i-1}, x_i\rangle} f(x) = f(x_i). \] Tedy odtud plyne \begin{eqnarray*} S(f, P) - s(f, P) &=& \sum_{i=1}^n(M_i-m_i)(x_i-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n (f(x_i) - f(x_{i-1}))(x_i-x_{i-1}) \\ &\le& \sum_{i=1}^n (f(x_i) - f(x_{i-1}))\nu(P) \\ &=& \nu(P)\sum_{i=1}^n (f(x_i) - f(x_{i-1}))=\nu(P)(f(b) - f(a)). \end{eqnarray*} Je-li nyní \(\varepsilon \gt 0\) libovolné, pak za předpokladu, že funkce \(f\) není konstantní funkcí na intervalu \(\langle a,b\rangle\) položme \(\delta = \varepsilon/(f(b) - f(a)).\) Je-li pak \(P\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\) takové dělení, pro které \(\nu(P)\lt\delta,\) potom platí \begin{eqnarray*} S(f,P) - s(f,P) &\le& \nu(P)(f(b) - f(a))\\ &\lt& \frac{\varepsilon}{f(b) - f(a)}(f(b) - f(a)) = \varepsilon. \end{eqnarray*} \(\Box\)

Věta. Riemannův integrál \(\int_a^b f(x)dx\) se nezmění, zmněníme-li funkční hodnoty integrandu \(f(x)\) v konečném počtu bodů.

Důkaz. Provádět nebudeme. \(\Box\)

Příklad (Dirichletova funkce). Uvažujme funkci \(D: \mathbb R\to\langle 0,1\rangle\) danou předpisem: \[ D(x) = \begin{cases} 1,& \text{ jestliže } x\in\mathbb Q\\ 0,& \text{ jestliže } x\notin \mathbb Q. \end{cases} \] Ukažme, že funkce \(D\) je nespojitá v každém bodě \(x_0\in\mathbb R.\) Je-li \(x_0\in\mathbb R,\) potom pro \(\varepsilon = 1/2\) a pro každé \(\delta \gt 0\) platí \[ \sup\{\vert D(x) - D(x_0)\vert: 0\lt \vert x-x_0\vert\lt\delta\}\gt\varepsilon = 1/2. \] Odtud již plyne nespojitost funkce \(D\) v bodě \(x=x_0.\) Ukažme, že pro každé \(a,b\in\mathbb R,\) \(a\lt b\) Riemannův integrál \(\int_a^b D(x)dx\) neexistuje. Určeme dolní a horní integrál funkce \(D(x)\). Nechť \(P\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\) je lib. dělení, pak \[ s(D,P) = \sum_{i=1}^n m_i (x_i-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n 0\cdot(x_i-x_{i-1}) = 0. \] Odtud plyne \[ \underline{ \int_a^b} D(x)dx = \sup\{s(D,P): P\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\} = 0. \] Podobně \[ S(D,P) = \sum_{i=1}^n M_i (x_i-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n 1\cdot(x_i-x_{i-1}) = b-a. \] Odtud plyne \[ \overline{\int_a^b}D(x)dx = \inf\{S(f,P): P\in\mathcal P(\langle a,b\rangle)\} = b-a. \] Tedy \[ \underline{\int_a^b}D(x)dx \lt \overline{\int_a^b}D(x)dx \] a tudíž integrál \(\int_a^b D(x)dx\) neexistuje.

Věta o střední hodnotě a její důsledky

Věta o střední hodnotě

Věta. Nechť \(f,g\in R(\langle a,b\rangle),\) \(g(x)\ge 0,\) \(m\le f(x)\le M\ \forall x\in\langle a,b\rangle\) pro nějaké konstanty \(m, M\in\mathbb R.\) Potom platí \[ m\int_a^b g(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx \le M\int_a^b g(x)dx. \] Dále existuje číslo \(\mu\in \langle m,M\rangle\) tak, že platí \[ \int_a^b f(x)g(x)dx = \mu\int_a^b g(x)dx. \] Je-li funkce \(f\) spojitá na intervalu \(\langle a,b\rangle,\) pak existuje bod \(\xi\in \langle a,b\rangle\) tak, že platí \[ \int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx. \]

Důsledek. Je-li \(f\in R(\langle a,b\rangle)\) a existuje-li konstanta \(K\ge 0\) taková, že \(\forall x\in\langle a,b\rangle: \vert f(x)\vert\le K,\) potom \[ \left\vert\int_a^b f(x)dx\right\vert \le K(b-a). \]
Důkaz. Z předchozí Věty, část (3) vyplývá, že \[ \left\vert\int_a^b f(x)dx\right\vert\le\int_a^b\vert f(x)\vert dx \le K\int_a^b dx = K(b-a). \] Jinak lze postupovat pomocí Věty o střední hodnotě. Položíme-li pak \(m = -K\), \(M = K\) a \(g(x) = 1,\) potom protože \(\forall x\in\langle a,b\rangle:\ -K\le f(x)\le K,\) pak \[ -K\int_a^b 1\cdot dx\le \int_a^b f(x)dx\le K\int_a^b 1\cdot dx \] \(\implies\) \[ -K(b-a)\le \int_a^b f(x)dx\le K(b-a) \] \(\implies\) \[ \left\vert\int_a^b f(x)dx\right\vert\le K(b-a). \] \(\Box\)

Příklad. Dokažme: \[ 0\le\int_0^1\frac{x^{19}}{\sqrt[3]{1+x^2}}dx\le 0,05. \]
Důkaz. Jelikož \(\forall x\in\langle 0,1\rangle:\ \frac{x^{19}}{\sqrt[3]{1+x^2}}\ge 0,\) pak z monotónnosti Riemannova integrálu plyne první dokazovaná nerovnost. Abychom dokázali zbývající nerovnost, položme ve Větě o střední hodnotě \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{1+x^2}},\ \ \ g(x) = x^{19}. \] Zřejmě platí \(\forall x\in\langle 0,1\rangle:\ \ 0\lt f(x)\le 1\) a \(g(x)\ge 0.\) Tedy \(m=0,\ M=1\) a potom máme: \[ \int_0^1 f(x)g(x)dx = \int_0^1\frac{x^{19}}{\sqrt[3]{1+x^2}} \le \int_0^1x^{19}dx = \left[\frac{x^{20}}{20}\right]_0^1 = \frac{1}{20} = 0,05. \] \(\Box\)

Důsledek. Nechť \(f\in R(\langle a,b\rangle),\) pak jestliže pro každé \(x\in\langle a,b\rangle:\ \ m\le f(x)\le M,\) potom existuje \(\mu\in\langle m,M\rangle\) tak, že \[ \int_a^b f(x)dx = \mu(b-a). \] Hodnotu \(\mu\) někdy nazýváme střední hodnotou funkce \(f\) na intervalu \(\langle a,b\rangle.\)

Zobecnění Riemannova integrálu

Funkce definovaná na intervalu \(\langle a,\infty)\) nebo \((-\infty,b\rangle\)

Předpokládejme, že \(f:\langle a,\infty)\to\mathbb R\) a \(f\in R(\langle a,b\rangle)\) pro každé \(b \gt a.\) Potom definujeme rovností \[ \int_a^{\infty}f(x)dx := \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)dx, \] pokud limita na pravé straně existuje. Hodnotu této limity pak nazveme nevlastním Riemannovým integrálem funkce \(f\) na intervalu \(\langle a,\infty).\)

Předpokládejme, že \(f:(-\infty,b\rangle\to\mathbb R\) a \(f\in R(\langle a,b\rangle)\) pro každé \(a \lt b.\) Potom definujeme rovností \[ \int_{-\infty}^bf(x)dx := \lim_{a\to -\infty}\int_a^b f(x)dx, \] pokud limita na pravé straně existuje. Hodnotu této limity pak nazveme nevlastním Riemannovým integrálem funkce \(f\) na intervalu \((-\infty,b\rangle.\)

Srovnávací kritérium