Obsah
Obsah rovinného obrazce omezeného grafem funkce
Uvažujme rovinný obrazec omezený grafem Riemannovsky integrovatelné funkce \(y = f(x)\) pro \(x \in\langle a,b\rangle\), osou \(x\) a přímkami \(x = a, x = b\). Viz Obrázek. Dále nechť \(\langle\alpha,\beta\rangle\subset\langle a,b\rangle.\) Označme potom symbolem \(S(\alpha,\beta)\) velikost plochy obrazce nad intervalem \(\langle\alpha,\beta\rangle.\) Z elementárních vlastností plošné míry vyplývá, že- \[ S(\alpha,\gamma) = S(\alpha,\beta) + S(\beta,\gamma), \] kdykoliv je \(a\le\alpha\lt\beta\lt\gamma\le b.\)
- \[ \inf_{x\in\langle\alpha,\beta\rangle} f(x)(\beta-\alpha)\le S(\alpha,\beta)\le \sup_{x\in\langle\alpha,\beta\rangle}(\beta-\alpha). \]
Věta 1.
Platí
\[
S(\alpha,\beta) = \int_a^b f(x)dx.
\]
Důkaz. Uvažujme libovolné \(\varepsilon \gt 0.\) Z
Darbouxovy definice určitého integrálu
vyplývá existence dělení \(P\in\mathcal P(\langle a,b\rangle\) takového, že bude platit
\[
\int_a^b f(x)dx - \varepsilon \lt s(f, P) \le S(f, P) \lt \int_a^b f(x)dx + \varepsilon. \tag{*}
\]
Nechť \(P = \{x_0, x_1,\ldots,x_n\}\) a \(i\in\{1,\ldots,n\}\). Potom z výše uvedených
vlastností plošné míry plyne:
\[
m_i(x_i - x_{i-1}) \le S(x_{i-1}, x_i) \le M_i(x_i - x_{i-1}). \tag{**}
\]
Sečtením nerovností (**) dostaneme s přihlédnutím k aditivitě funkce \(S(\cdot,\cdot)\) (vlastnost 1)
\[
s(f, P) = \sum_{i=1}^n m_i(x_i - x_{i-1}) \le S(a,b) \le \sum_{i=1}^n M_i(x_i - x_{i-1}) = S(f, P). \tag{***}
\]
Kombinací (*) a (***) dostáváme pro libovolné \(\varepsilon \gt 0\)
\[
\int_a^b f(x)dx - \varepsilon \lt S(a,b) \lt \int_a^b f(x)dx + \varepsilon.
\]
Odtud limitním přechodem pro \(\varepsilon\to 0+\) dostáváme dokazovanou rovnost.\(\Box\)
Ve sbírce řešených příkladů, která je ke stažení zde, pročtěte
sadu Cvičení 18, příklady 1 - 4.
Délka grafu funkce
Uvažujme dvě funkce \(x:\langle a,b\rangle\ni t\mapsto x(t)\in\mathbb R\) a \(y:\langle a,b\rangle\ni t\mapsto y(t)\in\mathbb R\) definované na intervalu \(\langle a,b\rangle\) a předpokládejme, že obě funkce mají na intervalu \(\langle a,b\rangle\) spojité derivace \(x'(t),\ y'(t)\). Zobrazení \(\Gamma:\langle a,b\rangle\ni t\mapsto (x(t),y(t))\in\mathbb R^2\) nazveme hladkou cestou. Pro každé \(t\in\langle a,b\rangle\) definujeme tzv vektor okamžité rychlosti \(v'(t)\) vztahem \[ v(t) = (x'(t), y'(t)). \] Délka vektoru okamžité rychlosti se spočítá pomocí vztahu: \[ \|v(t)\| = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}. \] Je přirozené předpokládat, že délka \(l(\Gamma) = l(a,b)\) cesty \(\Gamma\) splňuje následující dvě podmínky:- Jestliže \(a\le\alpha\lt \beta\lt\gamma\le b\), pak \[ l(\alpha,\gamma) = l(\alpha,\beta) + l(\beta,\gamma). \]
- \[ \inf_{t\in\langle\alpha,\beta\rangle}\|v(t)\|\cdot(\beta-\alpha) \le l(\alpha,\beta) \le \sup_{t\in\langle \alpha,\beta\rangle}\|v(t)\|\cdot(\beta-\alpha), \] kdykoliv \(a \le \alpha \lt \beta \le b.\)
Věta 2.
\[
l(a,b) = \int_a^b \|v(t)\| dt = \int_a^b\sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2}dt.
\]
Důkaz.
Důkaz je analogie důkazu předchozí Věty 1. \(\Box\)
Ve sbírce řešených příkladů, která je ke stažení zde, pročtěte
sadu Cvičení 18, příklady 5 - 8.