1. Topologie Euklidovského prostoru

Obsah

  1. Definice metrického prostoru.
  2. Příklady metrických prostorů.
  3. Topologie prostoru
  4. Spojitost zobrazení.
  5. Uzavřené množiny a hromadné body množin
  6. Doplňky a samostatná cvičení

Definice. (Definice metrického prostoru.) Předpokládejme, že \(M\) je množina. Metrika na množině \(M\) je funkce \(d:M\times M\rightarrow \mathbb{R}\) vyhovujı́cı́ následujı́cı́m podmı́nkám pro každé \( x,y,z\in M\):
(i) SYMETRIE: \(d\left( x,y\right) =d\left( y,x\right) .\)
(ii) POZITIVITA: \(d\left( x,y\right) \geq 0\), a \(d\left( x,y\right) =0\), právě když \(x=y\).
(iii) TROJÚHELNÍKOVÁ NEROVNOST: \(d( x,z) \leq d\left( x,y\right) +d\left( y,z\right)\).
Je-li \(M\) množina a \(d\) je metrika na množině \(M\), pak uspořádanou dvojici \(\left( M,d\right)\) nazýváme metrickým prostorem.

Příklady metrických prostorů

Příklady.
(i) Reálná osa. Položme \(\mathbb{R}.\) Dále Definujme funkci \(d(x,y)=|x-y|\) pro každé \(x,y\in\mathbb{R}.\) Pak je dvojice \((\mathbb{R},d)\) metrickým prostorem.
(ii) Euklidovský prostor. Uvažujme množinu \(M=\mathbb{R}^n\) a funkci \[d(x,y)=\sqrt[]{\sum_{i} (x_i-y_i)^2}\]Pak je opět dvojice \((\mathbb{R}^n,d)\) metrickým prostorem.
(iii) Diskrétní prostor. Mějme dánu neprázdnou množinu \(M.\) Potom je funkce definovaná předpisem: \[d(x,y)= \begin{cases} 0, \ \ \ \text{jestliže $x=y$;}\\ 1,\ \ \ \text{jestliže $x\neq y$.} \end{cases}\] je metrikou na množině \(M.\)

Poznámka. Nebude-li řečeno jinak, potom budeme na množině \(\mathbb{R}^n\) vždy tzv. euklidovskou metriku definovanou v příkladu (ii).

Podívejte se na video s názvem "Matematická analýza - příklady metrik", kde najdete podrobný popis některých konkrétních metrických prostorů.

Topologie prostoru

Definice. (Definice otevřené množiny.) Mějme dán metrický prostor \((M,d)\) a množinu \(A\subset M.\) Řekneme, že množina je v metrickém prostoru \(M\) otevřenou množinou, jestliže pro každé \(x\in A\) existuje \(\varepsilon>0\) tak, že otevřená koule \(B(x;\varepsilon)=\{y\in M\mid d(x,y)<\varepsilon\}\) se středem v bodě \(x\) o poloměru \(\varepsilon\) je obsažená v množině \(A\), tj, \[B(x;\varepsilon)\subset A.\]

Cvičení. Dokažte, že je-li dán metrický prostor \((M,d),\) \(x\in M,\) \(\varepsilon>0,\) pak je koule \(B(x;\varepsilon)\) otevřenou množinou v prostoru \(M.\)

Definice. (Konvergence posloupnosti v MP.) Řekneme, že posloupnost \(x_n\) v metrickém prostoru \((M,d)\) konverguje, existuje-li bod \(x\in M\) tak, že \(\forall \varepsilon> 0\ \exists n_0\in\mathbb N:\) \(x_n\in B(x,\varepsilon)\) pro každé \(n\in\mathbb N,\ n\ge n_0.\) Pak píšeme: \[ x = \lim_{n\to\infty} x_n, \] nebo \[ x_n\longrightarrow x \textrm{ pro } n\to\infty. \]

Lemma. Nechť \(\{x_n\} \) je posloupnost v metrickém prostoru \((M,d)\) a \(x\in M.\) Potom \(x = \lim_{n\to\infty} x_n\ \iff\ \lim_{n\to\infty} d(x_n,x)=0.\)

Důkaz. Cvičení. \(\Box\)

Věta. (O jednoznačnosti limity.) Nechť \((M,d)\) je metrický prostor. Jestliže \(x = \lim_{n\to\infty}x_n\) a \(y = \lim_{n\to\infty} x_n\), pak \(x=y.\)

Důkaz. Vyjdeme-li z trojúhelníkové nerovnosti, pak můžeme pro každé \(n\in\mathbb N\) psát: \[ 0\le d(x,y)\le d(x, x_n) + d(x_n,y). \tag{*} \] Odtud s využitím předchozího lemmatu dostáváme limitním přechodem v nerovnosti (*) pro \(n\to\infty\), že \(d(x,y)=0\) a tedy \(x=y.\)

Věta. (Konvergence v Euklidovském prostoru \(\mathbb R^n.\)) Mějme dánu posloupnost \(\{x^k\} = \{(x^k_1,x^k_2,\ldots,x^k_n)\}\) v Euklidovském prostoru \((\mathbb R^n, d)\), kde \(d\) je Euklidovská metrika na \(\mathbb R^n\). Potom platí: \[ x = \lim_{k\to\infty} x^k \iff \forall i\in\{1,\ldots,n\}:\ x_i = \lim_{k\to\infty} x^k_i. \] (\(x_i\) označuje i-tou souřadnici vektoru \(x.\))

Důkaz. (\(\implies\)): Předpokládejme, že \(x = \lim_{k\to\infty}\) x^k, tj. \[ d(x^k,x) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i^k - x_i)^2}\to 0 \textrm{ pro } k\to\infty. \] Dále pro každé \(i,k\) platí \[ d(x^k,x) \ge |x_i^k - x_i|. \] Odtud plyne pro každé \(i\) \(|x_i^k - x_i|\to 0 \) pro \(k\to\infty.\) Tudíž je pro každé \(i\) \(x_i = \lim_{k\to\infty} x_i^k.\)
Opačná implikace pak plyne ze základních vět o konvergenci reálných posloupností. \(\Box\)

Věta. Uvažujme metrický prostor \((C(\langle a,b\rangle), d)\), kde \(\forall x,y\in C(\langle a,b\rangle)\) je \(d(x,y) = \max_{t\in\langle a,b\rangle} |x(t) - y(t)|.\) Potom posloupnost funkcí \(\{x_n\} \subset C(\langle a,b\rangle)\) konverguje k funkci \(x\), právě když \(x_n\) stejnoměrně konverguje k funkci \(x\) na intervalu \(\langle a,b\rangle\).

Důkaz. Cvičení.\(\Box\)

Spojitost zobrazení

Definice (Spojitost zobrazení.) Mějme dány metrické prostory \((M,d)\) a \((N,e)\) a zobrazení \(f:M\to N.\) Řekneme, že zobrazení \(f\) je spojité, jestliže pro každou otevřenou množinu \(V\subset N\) v prostoru \(N\) je úplný vzor \(f^{-1}[V]=\{x\in M\mid f(x)\in V\}\) otevřenou množinou v prostoru \(M.\)

Cvičení. Uvažujme metrický prostor \((M,d),\) \(x_0\in M\) a zobrazení \(f:M\to\mathbb{R}\) definovanou předpisem \(f(x)=d(x_0,x)\) pro každé \(x\in M.\) Dokažte, že zobrazení \(f\) je spojité. (Na \(\mathbb{R}\) uvažujme metriku odvozenou od absolutní hodnoty.)

Cvičení. Dokažte spojitost funkce \(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) definovanou předpisem \(f(x)=\sqrt[]{\sum_{i=1}^nx_i^2}=\sqrt[]{\langle x,x\rangle}\) .

Uzavřenost množin, hromadné body

Definice. Mějme dán metrický prostor \((M,d),\) \(F\subset M.\) Řekneme, že množina \(F\) je v \(M\) uzavřenou množinou, jestliže je množina \(M\setminus F\) v \(M\) otevřenou množinou

Cvičení. Uvažujme metrický prostor \((\mathbb{R},d)\) kde metrika \(d\) je odvozena od absolutní hodnoty, tj. \(d(x,y)=|x-y|\) pro každé \(x,y\in\mathbb{R}.\) Rozhodněte, která z uvedených množin: \((x,y),\) \(\langle x,y),\) \((x,y\rangle,\) \(\langle x,y\rangle\) je otevřenou resp. uzavřenou množinou a své závěry řádně odůvodněte.

Příklad. Opět uvažujme metrický prostor \(\mathbb{R}\) a množinu \(A=\mathbb{Q}\) všech racionálních čísel. Pak \(A\) není ani otevřenou, ani uzavřenou množinou.

Definice. Nechť \((M,d)\) je metrický prostor, \(A\subset M,\) \(a\in M.\) Řekneme, že bod \(a\) je hromadným bodem množiny \(A\), jestliže pro každé \(\varepsilon > 0\) existuje \(x\in A\cap B(a;\varepsilon)\) tak, že \(a\neq x.\)

Příklady. V následujících příkladech uvažujeme vždy metrický prostor \(\mathbb{R}^n\) s euklidovskou metrikou uvedenou v příkladu 2.
(i) Konečná množina nemá žádné hromadné body.
(ii) Každý bod prostoru \(\mathbb{R}^n\) je hromadným bodem množiny \(\mathbb{R}^n.\)
(iii) Počátek \(0\) je hromadným bodem množiny \(\mathbb{R}^n\setminus \{0\}.\)
(iv) Uzavřená koule \[\bar{B}(x;\varepsilon)= \{y\in\mathbb{R}^n\mid d(x,y)\le \varepsilon\}.\] je množinou všech hromadných bodů otevřené koule \(B(x;\varepsilon).\)

Doplňky a samostatná cvičení