4. Totální diferenciál

Obsah

  1. Totální diferenciál
  2. Poznámky a doplňky
  3. Příklady

Totální diferenciál

Definice totálního diferenciálu. Nechť \(D\) je otevřenou množinou v prostoru \(\mathbb{R}^n\) a nechť \(F:D\to \mathbb{R}^m.\) Řekneme, že zobrazení \(F\) je v bodě \(a\in D\) diferencovatelné, existuje-li lineární zobrazení (homomorfismus) \(L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) tak, že platí \[\lim_{h\to 0}\frac{F(a+h)-F(a)-L(h)}{\sqrt[]{\sum_{i}h_i^2}}=\underline{0}\] Lineární zobrazení \(L\) budeme nazývat totálním diferenciálem a značit \(dF_{a}\). Matici zobrazení \(dF_{a}\) vzhledem ke kanonické bázi nazveme derivací zobrazení \(F\) v bodě \(a\) a značit ji budeme symbolem \(F'(a).\)

Věta. Nechť \(f:{\mathbb R}^n\to{\mathbb R}^m\) je zobrazení diferencovatelné v bodě \(a\in{\mathbb R}^n\). Potom existuje nejvýše jedno lineární zobrazení \(L:{\mathbb R}^n\to{\mathbb R}^m\) takové, že \[\lim_{h\to 0}\frac{F(a+h)-F(a)-L(h)}{\sqrt[]{\sum_{i}h_i^2}}=\underline{0}\]

Příklad. Uvažujme funkci \(f(x,y)=x^2+y^2.\) Rozhodněme, zda-li je tato funkce v bodě \(a=(0,0)\) diferencovatelná.
Položme \(h=t(1,0),\) pak máme \(t\to 0\) pokud \(h\to 0.\) Pokud by daná funkce byla diferencovatelná, existovalo by lineární zobrazení \(L(h_1,h_2)=uh_1+vh_2\) a muselo by platit: \[\begin{aligned} 0 &=\lim_{h\to 0}\frac{F(a+h)-F(a)-uh_1-vh_2}{\sqrt[]{\sum_{i}h_i^2}}=\lim_{t\to 0}\frac{F(((0,0)+(t,0))-F(0,0)-uh_1-vh_2}{|t|}\\ &=\lim_{t\to 0}\frac{t^2-ut}{|t|}.\end{aligned}\]Odtud plyne, že musí být \(u=0.\) Podobně se ukáže, že \(v=0.\) Nyní máme \[\lim_{h\to 0}\frac{F(a+h)-F(a)-uh_1-vh_2}{\sqrt[]{\sum_{i}h_i^2}}=\lim_{h\to 0}\frac{h_1^2+h_2^2}{\sqrt[]{h_1^2+h_2^2}}=0.\]

Definice tečné roviny. Předpokládejme, že je funkce \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\), která je v bodě \((x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2\) diferencovatelná. Potom rovnice \[z=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0),\] definuje tzv. tečnou rovinu ke grafu funkce \(z=f(x,y)\) s bodem dotyku \((x_0,y_0,f(x_0,y_0)).\)

Věta. Je-li \(F\) diferencovatelné zobrazení v bodě \(a\), potom je v bodě \(a\) spojité.

Věta. (Postačující podmínka diferencovatelnosti.) Má-li zobrazení \(F\) na okolí bodu \(a\) spojité parciální derivace, potom je zobrazení \(F\) v bodě \(a\) diferencovatelné.

Příklad. Uvažujme lineární zobrazení \(F(x,y)=ax+by.\) Dokažme, že \(F\) je diferencovatelné. Položme \(L(h_1,h_2)=ah_1+bh_2\) a ukažme, že \(dF_{(x_0,y_0)}(h_1,h_2)=ah_1+bh_2.\) \[\begin{aligned} F(x_0+h_1,y_0+h_2)&=a(x_0+h_1)+b(y_0+h_0)=ax_0+by_0+ah_1+bh_2\\ &=F(x_0,y_0)+L(h_1,h_2)\implies\end{aligned}\] \[F(x_0+h_1,y_0+h_2)-F(x_0,y_0)+L(h_1,h_2)=0\implies\] \[\lim_{(h_1,h_2)\to(0,0)} \frac{F(x_0+h_1,y_0+h_2)-F(x_0,y_0)+L(h_1,h_2)}{\sqrt[]{h_1^2+h_2^2}}=0.\]Jinak lze postupovat tak, že použijeme tzv. postačující podmínku diferencovatelnosti. Spočítejme obě parciální derivace funkce \(F.\) \(\frac{\partial F}{\partial x}=a\), \(\frac{\partial F}{\partial y}=b\) pro každé \((x,y)\in\mathbb{R}^2.\) Obě parciální derivace jsou tedy konstantními funkcemi a jsou tudíž spojitými funkcemi. Odtud plyne diferencovatelnost lineární funkce \(F.\) Navíc jsme ukázali, že platí \(dF_{(x_0,y_0)}=F.\)

Věta. (Jakobiho matice derivace.) Předpokládejme, že zobrazení \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) je diferencovatelné v bodě \(a\in\mathbb{R}^n.\) Potom je matice (tzv. Jakobiho matice) \(F'(a)\) totálního diferenciálu \(dF_a\) rovna matici: \[F'(a)=(D_jF^i(a))_{i=1,\ldots,m,j=1,\ldots,n}.\]

Poznámka. Poznamenejme, že v předchozí větě se tvrdí mimo jiné, že z diferencovatelnosti zobrazení \(F\) vyplývá existence parciálních derivací.

Příklad. Mějme dáno zobrazení \(F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) dané předpisem \(F(r,\phi)=(r\cos\phi,r\sin \phi),\) \((r,\phi)\in\mathbb{R}^2.\) Nejdříve ukažme, že zobrazení \(F\) je diferencovatelné v každém bodě. Spočítejme parciální derivace funkcí \(F^1(r,\phi)=r\cos\phi\) a \(F^2(r,\phi)=r\sin\phi.\) \[\frac{\partial F^1}{\partial r}=\cos\phi,\ \ \ \frac{\partial F^1}{\partial \phi}=-r\sin\phi,\] \[\frac{\partial F^2}{\partial r}=\sin\phi,\ \ \ \frac{\partial F^2}{\partial \phi}=r\cos\phi.\] Je zřejmé, že všechny čtyři parciální derivace jsou všude spojité a tudíž je zobrazení \(F\) diferencovatelné v každém bodě \((r,\phi)\in\mathbb{R}^2.\) Nyní lze zapsat Jakobiho matici ve tvaru: \[\left( \begin{matrix} \cos\phi & -r\sin\phi\\ \sin\phi & r\cos\phi \end{matrix} \right) .\]

Věta. (Algebra derivací.) Nechť \(f,g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) diferencovatelné v bodě \(a\in\mathbb{R}^n.\) Potom platí
(1) \(f\cdot g\) je diferencovatelná funkce v bodě \(a\) a platí \[d(fg)_a=g(a)\cdot df_a+f(a)\cdot dg_a.\] (2) Je-li \(g(a)\neq 0,\) potom je funkce \(f/g\) v bodě \(a\) diferencovatelná a platí \[d(f/g)_a=\frac{g(a)\cdot df_a-f(a)\cdot dg_a}{[g(a)]^2}.\]

Příklad. Vyšetřeme diferencovatelnost v počátku \(a=(0,0)\) funkce \[f(x,y)=\frac{2x^2y}{x^4+y^2}.\] Funkci dodefinujme v počátku hodnotou limity existuje-li.

Příklad. Najděte totální diferenciál funkce \(f(x,y)=\frac{\sin x\cos y}{x^2+1}\) v bodě \(a=(\pi/4,\pi/4).\)

Definice gradientu. Předpokládejme, že funkce \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) má všechny parciální derivace v bodě \(a\in\mathbb{R}^n.\) Gradient \(\nabla f(a)\) funkce \(f\) v bodě \(a\) je vektor definovaný vztahem \[\nabla f(a)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\right)_{1\le i\le n}=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)\]

Věta. Předpokládejme, že funkce \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) je diferencovatelnou funkcí v bodě \(a\in\mathbb{R}^n.\) Potom pro každý vektor \(v\in\mathbb{R}^n\) platí : \[D_vf(a)=\langle \nabla f(a),v\rangle.\]

Příklad- Pro každé \((x,y)\in\mathbb{R}^2\) položme \(\|(x,y)\|=\sqrt[]{x^2+y^2}.\) Nyní uvažujme funkci \(f(x,y)=\|(x,y)\|,\) \((x,y)\in\mathbb{R}^2.\) Najděme gradient \(\nabla f(x,y)\) pro každý bod \((x,y)\neq(0,0).\)

Příklad. Předpokládejme, že funkce \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) je v bodě \(a\in\mathbb{R}^n\) diferencovatelná. Nyní hledejme takový vektor \(v_0\in\mathbb{R}^n\), že \(\|v_0\|=1\) a \(|D_{v_0}f(a)|=max_{\|v\|=1}|D_vf(a)|.\)

Věta. (Řetízkové pravidlo.) Předpokládejme, že \(V,W,X\) jsou konečně-rozm ěrné prostory, \(U\subset V\) a \(\tilde{U}\subset W\) jsou otevřené podmnožiny, \(F:U\rightarrow \tilde{U}\) a \(G:\tilde{U}\rightarrow\) \(X\) jsou zobrazenı́. Jestliže \(F\) je v bodě \(a\in U\) diferencovatelné zobrazenı́ a zobrazenı́ \(G\) je v bodě \(F\left(a\right) \in \tilde{U}\) diferencovatelné, pak je také složené zobrazenı́ \(G\circ F\) diferencovatelné v bodě \(a\), navı́c platı́ \[d\left( G\circ F\right) _a =dG_{F(a)} \circ dF_a\] (Pravou stranu chápejme jako kompozici dvou lineárních zobrazení!)

Poznámky a doplňky

Poznámky a doplňky

Příklady